算数の合否を分けた一題（2016年度）

算数の合否を分けた一題

芝中学入試対策・算数の合否を分けた一題（2016年度）

難易度分類

１	（１）A　　（２）A
２	A
３	B
４	B
５	（１）A　　（２）B
６	（１）A　　（２）C
７	（１）B　　（２）B
８	（１）A　　（２）C
９	（１）B　　（２）B　　（３）C

A…芝中合格を目指すなら必ず得点したい問題
B…着眼点や解法により正答率・かかる時間に差がつく問題
C…難易度や処理量から判断して、とばすべき問題

問題別寸評

１

（１）（２）

小数と分数の四則混合計算、逆算
煩雑ではありますが、普通の計算問題です。確実に正解したいところです。0.625や0.375などを、8を分母とする分数に素早く変換して考えることができると時間短縮に効果的です。

２

分数の性質、約分に関する問題
約分して分子が１となる→分子が分母の約数
約分できる　→分子が「分母を素因数分解したときの要素の倍数」のとき
約分できない　→「全体の個数」ひく「約分できるものの個数」
これらの似ている問いの意味を正確に読み分け、目的にかなった処理をすることが大切です。

３

旅人算と周期
はじめに３分遅れで出発し、その後もＢ君は出会うたびに３分休むことから、Ａ君とＢ君が出会うまでの時間は常に一定であることがわかります。
すなわち（１３６０ｍ−８０×３）÷（８０＋２００）＋３分＝７分おきに２人は出会う。
一方で、ＡがＰ地点に戻ってくるのは１３６０ｍ÷８０＝１７分おきなので、
ＡがＰ地点にいて、なおかつそこでＢと出会うような時間は、１７分と７分の公倍数を利用して求めることができます。

４

比の積・比の商
２つの直角三角形ＡＢＦとＦＥＤは面積の比が５：４、高さの比が３：２なので、底辺の比ＡＦ：ＦＤは５÷３：４÷２＝５：６だとわかります。
このとき、
三角形ＡＢＦの面積は３×５＝１５
三角形ＦＤＥの面積は２×６＝１２
台形ＡＢＥＤの面積は（３＋２）×（５＋６）＝５５という比で表すことができ、
三角形ＢＥＦを表す比は５５−（１５＋１２）＝２８とわかるので
ここから、ＢＥＦの面積は、５㎠÷１５×２８と求めることができます。

５

立方体に関する問題

（１）

床に押されるハンコの形を問われているので、立方体の「下の面」を考えなければならないことに注意が必要です。矢印の向きにも注意して考えましょう。

（２）

押されたハンコの形（＝下の面）だけではなく、そこにつながっている周りの４面も図に小さく描きいれておいて考えると、転がる向きが変わったときにも確実に対応できるようになります。

６

図形の調べ上げ

（１）

ななめの正方形も漏れなく数えることを忘れないようにしましょう。

（２）

２．５マス分の面積を持つ三角形をつくります。中央にななめの１０マス分の正方形を作ることができれば、その半分の三角形が１０㎠になります。

７

後述、合否を分けた一題参照

８

図形上の点の移動
問題の意味を「読み替え」て考えてみましょう。形は長方形ですが、池のまわりを回る場面との類似性に注目します。ＰＱを結ぶ直線が長方形ＡＢＣＤの面積を二等分するのは、ＰとＱがちょうど「半周差」がついたとき、円でいえばＰＱが直径になるような位置関係のときです。
それはすなわち、１周の半分、２４ｃｍの差がついたときということですから、２４ｃｍ÷（５－２）＝８秒後が最初だということがわかります。

合否を分けた一題

芝中学は思考力を問う問題を好んで出題してきます。単純に、この問題はこう処理する、と決まったパターンに当てはめて解ける問題ではない場合、どうアプローチするか。この「思考力」への対策が合否を分けるといえるでしょう。ここでは、思考力を鍛えるための３つの観点に注目してみましょう。①情報を整理する力、②細かい要素に分解する力、③基本形を発見する力、の３つです。

［７］は個数のある売買損益の問題でした。
仕入れ値はわかりません。
定価は仕入れ値の２割増し
１日目に売れた個数は仕入れた個数の半分
この時点で３９２個分の仕入れ値と同じ金額の損
以上が（１）を解くための手がかりとして与えられている情報です。

定価で売れた部分では２割の得をし・・・・①　要素への分解
売れなかった部分では１０割の損をしています・・・②　要素への分解
この①と②の差が全体での損失を表します
また、この損失金額が、３９２個ぶんの仕入れ値と同じだという情報が与えられています
１個あたりの仕入れ値はわかっていませんから、具体的な金額はわかりません。ただ、３９２個が全体の何分のいくつにあたるのかに注目してみます。

仕入れた個数の半分ぶんの金額の２割と仕入れた個数の半分ぶんの金額の１０割との差とは、つまり仕入れた個数の半分の金額の８割にあたり、それはさらに簡単に整理すると「仕入れた個数全体金額の４割」ということになります。
これが３９２個ぶんにあたるということなのですから。
３９２個が全体の４割　・・・　基本形
したがって、もとの個数は３９２個÷０．４＝９８０個だとわかります。

（２）

３日間の利益の状況を整理すると
定価で売れた１日目は売れた個数の仕入れ値の２割が利益となっており・・・・①　要素への分解
仕入れ値と同じ価格で売り出した２日目には得も損もしておらず　・・・・②　要素への分解
３日目は定価の２割引きで売っていますから、１．２×０．８＝０．９６で、仕入れ値よりも下回っています。
つまり３日目は売れた個数の仕入れ値の４分（１－０．９６）が損となっています。・・・・③　要素への分解

また、３日間の利益の合計が
はじめに予定していた利益の２８分の１３だったことから整理すると
予定の利益全体を　２８　と比で表すとき
１日目の利益は半分の１４
２日目は損得なし
３日目に　□　の損
その結果１４－□＝１３の利益　という場面なので、３日目の損が　１　とわかります

ここで、全体（９８０個）の２割（０．２）が２８で、３日目に売った個数の４分（０．０４）が１にあたることから

全体の個数と３日目に売った個数の比は
２８÷０．２　：　１÷０．０４　＝　２８　：　５　　　・・・・基本形　（比の商）

よって１日目と２日目と３日目の個数の比は
１４　：　１４－５　：　５　＝　１４　：　９　：　５

２日目に売った個数は
９８０個　÷２８　×９＝　３１５個だとわかります。

著者：受験Dr. (受験ドクター)

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