算数の合否を分けた一題（2020年度）

問題別寸評

(1)は基本通りの未知数を求める計算問題、(2)～(3)も、極めて基本的な一行問題でした。
ここは確実に得点しておきたいところです。

（１）

0.75や3.125などの小数は、すぐ分数に直せるように覚えておきましょう。計算の順序にさえ気をつければ、けっして難しくはありませんので、確実に正解してください。

（２）

規則のとらえ方が何通りか存在しますが、
1 | 2 , 1 , 2 | 3 , 2 , 1 , 2 , 3 | 4 , 3 , 2 , 1 , 2 , 3 , 4 | 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 2 , 3 , ……
というようなグループに分けるのが便利だと思います。
この形だと、グループごとの個数が １個、３個、５個……というように奇数個になりますから、左端から各グループの最後までに並んだ数字の個数は、１個、４個、９個……と平方数になります。
2020に近い平方数を探すと、45×45＝2025がありますので、45番目のグループの最後から６番目（あと５個残っているところ）が2020番目の数字となります。
45グループ目は、｛45 , 44 , 43 , …… , 2 , 1 , 2 , …… , 43 , 44 , 45｝という並びなので、最後の５個（41～45）を残す2020番目の数字は「40」です。

（３）

驚くほど基本的な時計算の問題です。
2時ちょうどの長針と短針の間の角は60度ですから、当然のことながら、長針が短針と重なる時刻の前後に両針の間の角が50度になる瞬間があり、答えは2つとなります。
確実に正解してください。

数の性質を上手に利用することで、ある程度の時間の短縮は図れますが、最終的には書きだすなどしなければならない問題も含んでいます。
いかに効率よく、ミスなく、確実に探せるかが勝負の鍵となります。

（１）

これは、問題条件をなぞらせる中で、出現する数の規則性に気づかせるというウォーミングアップ問題です。

この問題を通して、少なくとも「３の倍数しか出てこない」ということには気づいてください。

（２）

(1)に記載した通り、３を足しても３をかけても、元が３の倍数であれば３の倍数にしかなりません。この点に気づけば、３の倍数でない数が出てきたところで止めることができるので、333から逆算して戻っていく場合に無駄を省けます。
そうすると、３→９→12→36→108→111→333（B,A,B,B,A,B）の６回が最少とわかります。

（３）

（４）

操作は２種類しかありませんから、36から逆算して３までたどれる方法を探します。
このとき、途中の操作では「３の倍数」しか出現しないことを利用して、すべての場合を計算しなくてもすむように気をつけてください。

複雑な条件をいかに正確に整理できたかが明暗を分ける問題でした。このように、複雑に動くものの動きを正確につかむ必要がある問題では、ダイヤグラムが便利ですが、単に図に表すだけでなく、その上で上手に比を利用する必要があります。
本問の場合、条件が複雑なので、正確にダイヤグラムをかくことが大変です。また、解き方自体はそれほど難しくないのですが、ダイヤグラムの中に平行線がたくさんありますので、必要な相似や線を選び出すことが難しいでしょう。
実際に、問題文から分かることをダイヤグラムに整理すると下の図のようになります。

つまり、ダイヤグラムがきちんとできれば全問正解もねらえる一方で、ダイヤグラムが作れなければ全滅もありうる･･････その意味では、非常に点差がつきやすい問題ですので、この大問３を「合否を分けた一題」とし、後ほどくわしく解説します。

立方体の中空にある点Ｒを、しっかり想像できるかどうかが勝負のカギとなります。
また、実際に体積を出すときには、計算ができる形に上手に分割することが求められます。

（１）

投影図の問題としては割と基本的な形です。
聖光学院の受験生であれば、十分対応できる問題のレベルでしょう。
それだけにミスは許されません。
時間制限のある中でも、落ち着いて取り組みましょう。
立体Ｘを見取り図で表すと、右の図（赤線）のようになります。

（２）

３等分点で作図をしなければならない分、(1)の問題よりは高度になりますが、投影図としては決して難しくありません。
立体Ｙを見取り図で表すと、右の図（赤線）のようになります。正しく想像できていたでしょうか。
この場合、三角形BFHを底面とし、点Gを頂点とする三角すい（青線部分を足したもの）を考えると、求める立体Ｙの底面FSTと高さが共通な三角すいであることが分かります。
BS：ST：TH＝１：１：１より、底面積もちょうど３等分されていることに気づけば、比較的簡単に正解にたどり着くことができます。

この問題のカギは、「正六角形の等分割」と、「等積変形」です。
解き方のコツに気付くことができれば、スムーズに正解にたどり着くことができるでしょう。

（１）

問題の指示通りに点Ｐをとると、上の図のようになります。
正六角形ABCDEFを、この図の点線のように18分割すると、ちょうどACとBFの交点が点Pになることが分かります。
ここで、三角形PABや三角形PBC、三角形PAFのように、18分割した三角形で表せるものは簡単ですが、それ以外の三角形は、等積変形を利用して面積の割合を求めてください。

（２）

この問題では、条件に合うものをすべて答えなければなりませんので、どうすれ４分の１の面積を作れるかを考えなければなりません。
上の図１・図２は、ともに正六角形を24分割したものです。ここで、正六角形の４分の１の面積にするためには、24等分した図形６個分の大きさにすれば良いことになります。
図１の青い三角形は４個分ですから、必要な面積はこの1.5倍。そのためには、高さを1.5倍にすれば良いので、例えば辺CDを含む三角形が４分の１になるのであれば、点Ｐは図２の赤い直線上にあることになります。

そして、そんな三角形が２つなければならないので、２つの方向からとった高さ1.5倍の直線（図２での赤い直線）の交点にＰがあれば良いと分かります。
同じ分け方になるものをのぞくと、可能性があるのは図３・図４の２つのパターンとなります。

（３）

先ほどの(2)の問題で、面積4分の1を作るための条件が分かったと思います。カンで解かせるのではなく、あくまで条件考えさせるように、上手に誘導をしている良問といえるでしょう。
さて、4分の1を最大の面積にするためには、図4の三角形PBCのように、4分の1の三角形よりも高さが高いものを作ってはならないので、どの方向から見ても高さ1.5倍以内になるようにする必要があります。つまり、図5のように、正六角形のすべての辺を底辺としたときの「高さ1.5倍」となる直線（赤線）上のどこかに点Ｐがあれば、必ず4分の1の面積の三角形ができ、また、それよりも大きい面積の三角形は存在しないことになります。

合否を分けた一題

　ある川の上流から順に，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの4地点があり，船ＸはAD間を，船ＹはDB間を往復します。船Ｘ，Ｙは間の地点や折り返す地点ではとまらず，到着するとすぐに出発します。
　ある日，午前８時27分に船ＹがＤ地点からＢ地点に向かって出発し，その何分か後に，船ＸがＡ地点からＤ地点に向けて出発しました。船Ｘと船Ｙがすれ違った後，船ＹはＣ地点を通過し，それと同時に船ＸはＤ地点に到着しました。船Ｘはすぐに折り返して出発したところ，Ｂ地点で折り返してきた船Ｙと，午前10時33分にＣ地点ですれ違いました。さらに，船ＸはＡ地点で折り返すと，D地点で折り返してきた船ＹとＢ地点で出会いました。
　船Ｘと船Ｙの速さは等しく，上りは時速2km，下りは時速7kmで進むものとして，次の問いに答えなさい。
（１）BC間とCD間の距離の比を，最も簡単な整数比で答えなさい。
（２）船Ｘが初めてＤ地点に到着した時刻は午前何時何分ですか。
（３）船Ｙが初めてＤ地点に戻ってきた時刻は午前何時何分ですか。
（４）船Ｘが初めてＡ地点を出発した時刻は午前何時何分ですか。

【解法】

（１）

本文で示したダイヤグラムに、説明用の記号や色を加えたものがこちらです。
この図を利用して解説をしていきます。

上のダイヤグラムで、エ～オは船ＹがＣ地点からＢ地点まで時速2kmで上るのにかかった時間、オ～カは船ＹがＢ地点からＣ地点まで時速7kmで下るのにかかった時間です。どちらもBＣ間の等しい距離を移動していますから、かかった時間の比は速さの逆比、つまり7：2となります。
同じように、エ～カは船ＸがＤ地点からＣ地点まで時速2kmで上るのにかかった時間、カ～キは船ＹがＣ地点からＤ地点まで時速7kmで下るのにかかった時間ですから、やはり7：2です。
この比を合成すると、エ～オ：オ～カ：カ～キ＝49：14：18となりますので、オ～カ：カ～キ＝７：９。これは、黄緑の三角形の相似比となりますから、BC：CDも７：９です。

（２）（3）

まったく同じ要領で、ア～オは船ＹがＤ地点からＢ地点まで時速2kmで上るのにかかった時間、オ～キは船ＹがＢ地点からＤ地点まで時速7kmで下るのにかかった時間ですから、やはり7：2です。
これを、(1)で作ったエ～オ：オ～カ：カ～キ＝49：14：18と合わせると、ア～オ：オ～カ：カ～キ＝112：14：18となります。
ここで、アが8時27分、カが10時33分であることから、ア～カは126分なので、ア～オ＝112分、オ～カ＝14分、カ～キ＝18分、エ～オ＝49分と求められます。
したがって、エ～カ＝63分ですから、船ＸがはじめてＤ地点に到着した時刻エは午前９時30分です。
また、カ～キ＝18分ですから、船Yが初めてＤ地点に戻ってきた時刻キも、午前10時51分と求められます。

（４）

先ほどの問題で分かった時刻を図に書き入れていくと、次のようになります。

どちらの船も速さは等しいので、右上がりの線どうし、右下がりの線どうしは、それぞれ平行になっています。つまり、図の斜線部分は平行四辺形なので、ウ～エ＝カ～キ＝18分と分かります。
また、黄色の部分も平行四辺形ですから、斜線部分の平行四辺形と黄色の平行四辺形が重なった三角形と、青色の三角形とが合同となり、AB間の距離がCD間の距離と等しいことが分かります。したがって、(1)の結果と合わせると、AB：BC：CD＝9：7：9です。
ここで、ピンク色の三角形の部分は相似ですから、その相似比は（9＋7）：9＝16：9なので、イ～ウ：ウ～エ＝16：9。ウ～エ＝18分であることから、イ～ウ＝32分、つまり、イ～エ＝50分ですから、船Ｘが初めてＡ地点を出発した時刻イは午前8時40分です。

（答え）　(1)７：９　　(2)午前9時30分　　(3)午前10時51分　　(4)午前8時40分