算数の合否を分けた一題（2015年度）

算数の合否を分けた一題

武蔵中入試対策・算数の合否を分けた一題（2015年度）

難易度分類

［４］（１）Ａ　（２）Ａ　（３）Ｂ　（４）Ｃ

［１］	（１）Ａ　　（２）Ａ
［１］	（１）Ｂ　　（２）Ｂ
［３］	（１）Ａ　　（２）Ｂ

A…武蔵中合格を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難易度、処理量から判断して、部分点を拾えれば良しとする問題

問題別寸評

［１］

（１）は旅人算ですが、同時に到着ではなく１分の差ができています。この情報をどう整理して活用するかがポイントですね。今回は二人とも速さが分かっており、なおかつ駅から太郎の家までの距離もわかっているので、太郎が次郎よりも余計に進んだ距離、５００ｍにかかった時間も分かります。したがって太郎が初めに駅に到着した時間と次郎が駅に到着した時間の差が６－１＝５分だと分かります。また、同じ距離を進む場合にかかる時間の比が速さの逆比になることを利用して、太郎と次郎が学校から駅まで行くのにかかった時間の比は３：５と分かりますから、太郎が学校から駅までかかった時間は
５÷（５－３）×３＝７．５分、よって駅までの距離は、５０００ｍ×７．５÷６０＝６２５ｍ

（２）は時計算です。遅れる時計の時刻が、時刻そのものではなく時計の針で情報を与えられています。８時の時は単針と長針の差が240°、それが53°まで縮まっているということは8時から何分経過したか分かりますので、この時計が8時何分を指しているのか求めることができます。
同じように15時10分のときの時計についても、15時何分を指しているのか求められますので、ここから先は遅れる時計の基本問題として処理できます。

［２］

一見、差集め算のようにも見えますが、、、　　【合否を分けた一題】にて後述します。

［３］相似や図形の性質を利用した問題

(１)は、クロス型相似を活用して、ＡＨ：ＨＤの辺の比から、三角形ＡＨＧと三角形ＤＨＩの面積の比が分かりますので、これと面積の差の情報から、三角形ＨＤＩの面積を求めることができます。
また、三角形ＤＨＩと三角形ＣＥＩもクロス型相似で、ＤＩ：ＩＣの比が分かりますので、これと、先ほどのＨＤＩの面積の情報から、高さＤＩを求めることで、ＤＩ＋ＤＣすなわちＡＢの長さが求められます。

（２）は差がつく１題ということで後述します。

［４］調べあげの問題

（１）では６と５が既に使われており、なおかつＢが５なので、残りのどの数よりも大きいことが分かっているため、Ｃに入れる数にも制約がありません。よって、気をつけるべき条件はＦとＥの関係のみですので、ＦとＥの数の入れ方を考え（Ｆ，Ｅ）＝（１，２）、（１，３）、（１，４）、（２，３）、（２，４）、（３，４）　それぞれについて残りの２か所はどちらでも大丈夫ですので、６×２＝１２通りと分かります。

（２）答えが整数になるためには分数部分が消えてくれなければなりません。同じ数字は使えないのですから、見た目は異なっても同じ数を表す、そんな分数を利用します。
すると、２分の１と６分の３、４分の２と６分の３、３分の１と６分の２、３分の２と６分の４の関係が、これにあてはまります。それぞれの場合で、残った２つの数字が大きい順にＡ、Ｄにあてはまり、あとは２つの分数の前後は入れ替え可能ですので、各２通りできるため、４×２＝８通りとなります。

（３）答えが最も大きくなるためにはＡに最も大きい数を、Ｄに最も小さい数をあてはめます。
（４）答えが最も小さくなるためには、ＡとＤの差をできるだけ小さく、また引かれる数の方の分数部分を小さく、引く数の方の分数部分をできるだけ大きくして考えてみます。

合否を分けた一題

合否を分けた、という観点では［２］が、そして、差がついた問題が［３］の（２）と言えるでしょう。

［２］は一見差集め算の応用のような見た目ですが、男子も女子も人数が分かっておらず、人数の「差」だけが与えられています。

したがって、男子で一人あたり３個減らし、女子で一人あたり１個減らした時に、必要な数は全体で何個減ったか、という部分に着目して消去算をつくることになります。
男子が□人、女子が○人とすると、　□×３ + ○×１ = ７１+６＝７７
また、男子は女子よりも７人多いので、□ ＝ ○ + ７
これを解くと、○＝１４人、□＝２１人となりますので、生徒の人数は１４＋２１＝３５人と分かります。

（２）先の問題の結果を利用することで、あめの数＝チョコレートの数は３４９個とわかります。
欠席した生徒が４人以上ですから、裏を返せば出席した生徒は３５－４＝３１人以下。あとは、この情報を利用して、８個×△＋１０個×☆＝３４９－５５＝２９４　を満たす△を調べっていきます。
今回は相方が１０の倍数なので、１の位の数字「４」に着目することで素早く絞り込むことができるでしょう。
８の倍数で１の位が４になるのは、△＝３、８、１３・・・　そのうち、△＋☆≦３１を満たすことができるのは８までですから、答えは３人、８人だけだとわかります。

［３］の（２）は「面積の和」をどう利用するかが、差のつきどころになります。
ＤＬとＬＣを合わせた長さが（１）で求めたＡＢと等しくなっている、というところをうまく利用できるように、等積変形を試みましょう。

すると、よく見慣れた図形上の点の移動の基本問題が現れてきますので、Ｄを出発するときは５４㎠、Ｃに到着したときは４３．２㎠、その途中のＬ地点で４７．６㎠になる、と考えることによって、
ＤＬ：ＬＣ＝１６：１１という情報を得ることができます。
この情報を利用して、三角形ＫＥＦと三角形ＫＣＬの相似に注目すると、ＫＣ：ＣＥ＝１１：１６が得られます。
ＣＥが８ｃｍなのですから、ＫＣ＝５．５ｃｍ、よってＢＫ＝１０－５．５＝４．５ｃｍと分かります。

著者：受験Dr. (受験ドクター)

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