算数の合否を分けた一題（2017年度）

算数の合否を分けた一題

東海入試対策・算数の合否を分けた一題（2017年度）

難易度分類

１	（１）A　（２）A　（３）A
２	（１）A　（２）B　（３）B
３	（１）A　（２）A
４	A
５	（１）A　（２）C
６	（１）B　（２）B
７	（１）A　（２）A　（３）A
８	（１）B　（２）C

Ａ：東海中合格を目指すなら必ず得点したい問題
Ｂ：着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
Ｃ：難易度や処理量から判断して、部分点を狙ったりとばすべき問題

出題総評

大問１は計算１問を含む小問集合、大問２は立体図形の問題、大問３は速さの問題、大問４は平面図形の問題、大問５は色の塗られた表面について考えていく立体図形の問題、大問６は相似を活用する平面図形の問題、大問７は推理の問題、大問８は数列を使った規則性の問題でした。

問題別寸評

[１]

（１）

　
分数と小数が入り混じった計算問題。特に計算の工夫もないので、落ち着いて答えを求めるように。0.75は、瞬時に分数に変換できるようにしておきましょう。

（２）

　
一の位に着目します。同じ数をかけて９になるので、３か７が考えられます。その後はそれぞれ逆算をすれば答えが出せます。

（３）

倍数算の典型題で、白と赤のおはじきの個数の増減について、比を使った式にしてから考えます。本校の受験生は、この問題も含めて大問１は落とせません。

［２］

底面の形が正六角形のものと正三角形のものである柱体同士を組み合わせた立体の問題。

（１）

　
高さ比は与えられているので、それぞれの底面積を考えます。図２の正六角形を２４分割して考えると良いでしょう。正六角形：正三角形＝２４：９となり、答えが導けます。

（２）

　
底面が正六角形の柱体の高さ２ｃｍ分の体積（計算で求まります）＝（さかさまにしたので）正六角形から正三角形の底面積を引いて、それに三角柱の高さをかけた体積と捉えます。

（３）

　
水が入っている部分の底面積は、正六角形の半分と、正三角形を９分割したうちの４個分です。後は、それぞれの高さを考えれば答えが出せます。

［３］

２人の追い抜きが絡む旅人算の問題。当然ですが、線分図は描いて情況をしっかりと把握するように。

（１）

　
両者の速さの比が５：４なので、それを距離比として考えると、問題文３～４行目の条件から答えが導けます。
　

（２）

　
問題文の冒頭３行目までから、まずは弟が家を出る時刻を求めます。途中から速さを変えたので、速さのつるかめ算として処理します。

［４］

正方形内部に線を引き、中心の正八角形を求めるという典型的な平面図形の問題。正八角形を８つの三角形にわけ、その三角形３つ分が１ｃｍ×２ｃｍ÷２＝１㎠として考えていきます。本校の受験生はこの問題も欠かせません。

［５］

後半に差し掛かりますが、ここから難易度がグッと上がる問題も増えてきます。立方体をたくさん重ね、表面に色を塗ってバラバラにするという問題。

（１）

　
８０個ということは、２×２×２０か４×４×５が考えられますが、前者は色がぬられていない立方体が発生しなくなるので誤り。したがって、４×４×５となり、後は最奥にある個数を計算して求めます。

（２）

少し処理に厄介な問題。まずは１６０個すべての立方体を、１面が塗られているもの、２面が塗られているもの、３面が塗られているもの、全く塗られていないものにわけて個数を計上します。そのうえで塗られていないものが先ほどの問題の答えからわかっているので、それを（１）と同じ方法で縦の個数×横の個数×高さの個数と式にして２面が塗られているものと３面が塗られているものの個数を出します。後は、先ほどの個数と合計して答えを導きます。

［６］

直角三角形相似をうまく組み合わせて考える、平面図形の問題。詳細は、合否をわけた一題として後述いたします。

［７］

文章も長く一見問題の情況が捉えにくい問題ですが、人が並んでいる様子を点数別に並べていけば拍子抜けするレベルの推理の問題です。

（１）

　
Ａ君は２点を取ったことが問題文から分かり、Ａ君が真ん中ということは、前から（１＋２９）÷２＝１５人目にいるということです。点数が低い人から並べると、０点が３人、１点が６人でＡ君が最後に並んだわけですから２点を取った人数が出せます。

（２）

２点を取った人と４点を取った人の合計が２９－（３＋６＋８）＝１２人です。下の図は、実際に全員を並ばせた様子です。
０００１１１１１１２２２２２Ａ２２２３３３３３３３３４４４
３点の人数が８人なので、本問の条件から９人以上であることが分かります。４点を取った人がいない情況まで考えると、答えが導けます。

（３）

（２）の条件の下で、４点を取った人がいないものを考えれば問題ありません。

［８］

最後の大問ということもあって、かなりの難易度です。数を渦巻き状に並べた状態をいくつか考えていく規則性の問題。数の性質の考え方も絡みます。

（１）

　
例えば、図２の場合だと１の下は１８です。縦３×横８なので、１＋（８－１）＋（３－１）＋（８－１）＋（３－２）＝１８となります。
７２までの場合で、こうなるようなものを探し出します。
７２は、２×３６、３×２４…とたくさんありますが、その中で縦１８×横４を考えてみます。４０＝１＋（４－１）＋（１８－１）＋（４－１）＋（１８－２）となりますので、後は渦巻き状に数が並ぶように図を描いていけば７２の下の数が求まります。

（２）

最後に数が左から右に流れる時（図２のような状態）と右から左に流れる時（図３のような状態）が存在します。図を描くとわかりますが、前者は数が横に１１＋１３＝２４個並び、縦に７×２＋１＝１５個並びます。後者は数が横に１１＋１２＝２３個並び、縦に７×２＝１４個並びます。

合否を分けた一題

本校の試験時間は６０分と長く設定されてはいるものの、大問が８つと決して楽な試験ではなかったと言えます。特に大問５以降は、問題文も長くそれぞれの小問に手を付けづらかったことと思われます。その中で、今回は図形の問題で相似を組み合わせることがカギとなった大問６をご紹介しましょう。

［６］相似形を活用する平面図形の問題

（１）

まずは、ＢＥ：ＥＧ＝１：２、ＥＧ：ＧＣ＝４：３なので比を揃えるとＢＥは②　ＥＧは④　ＧＣは③となります。ＤＥ＝ＥＧよりＤＥは④。したがって、三角形ＢＤＥは斜辺が１０ｃｍ、横が②、縦が④の三角形ということです。
次に、問題文から角Ｂと角Ｃが等しく、角ＢＥＤも角ＦＧＣも直角なので三角形ＢＤＥと三角形ＧＣＦは相似であることが分かります（角度に〇や×の記号を必ず振るように）。ＧＣは③なので、△ＧＣＦは△ＢＤＥの１．５倍の拡大図であり、ＦＧは④×１．５＝⑥、ＦＣは１０×１．５＝１５ｃｍということも分かります。
さらに、ＤからＦＧに垂線を引くと、下の図のように△ＢＤＥと△ＤＦＨは合同であることも分かります。