算数の合否を分けた一題（2017年度）

算数の合否を分けた一題

桐朋中入試対策・算数の合否を分けた一題（2017年度）

難易度分類

１	(1)　A　(2)　A　(3)　A
２	(1)　A　(2)　A　(3)　C
３	(1)　A　(2)　B
４	(1)　A　(2)　B　(3)　B
５	(1)　A　(2)　B
６	(1)　B　(2)　B　(3)　C
７	(1)　A　(2)　①　A　②　B　③　C

［１］（１）A　（２）A　（３）A
［２］（１）A　（２）A　（３）B
［３］（１）A　（２）A　（３）B　
［４］（１）A　（２）B
［５］（１）A　（２）C
［６］（１）A　（２）B 　（３）C
［７］（１）A　（２）A （３）B　（４）C

A…桐朋中を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識・解法次第で得点に大きく差がつく問題
C…難易度・処理量から判断して、部分点を拾えれば良しとする問題

問題別寸評

１

(1)(2)(3)いずれも、基本的な計算問題です。ケアレスミスに十分に気を付け、確実に得点しなければならないところです。

２

小問集合
（１）２日目は「残り」の７分の４であることに注意しましょう。
（２）　現在の年齢の和は４年後よりも８才若いので、７２才、差は８才ですから和差算で求められます。
（３）正三角形の３本の辺の和と正六角形の６本の辺の和の比が２：１になっているのですから、１辺の比は３分の２：６分の１＝４：１となります。
ゆえに、正六角形を６等分した小さな正三角形と、大きな正三角形の面積比は４×４：１×１
六角形はこの１の面積の三角形６個分ですから
１６：６＝８：３だとわかります。

３

速さと比の問題
　同じ時間ですすむ距離は、「速さの比」と比例することを利用して考えます。
（１）速さの比が1：６と分かっているので、Aくんが15分すすんだときに電車が出発すると、あと３分すすんだときに追いつかれます。
（２）Aくんは１５＋３＋３分でＱ駅につきます。
（３）ＰＱ間の道のりを求めれば電車がＱ駅に到着する時刻が分かりますから、あとは、その時刻につくような「時間」でAくんが駅に着けば良いということが分かります。「途中で速さを変えて進む」はつるかめ算のパターンですね。

４

平面図形と比
　（１）三角形ＣＦＣのＤＣが６ｃｍと分かるのですからＦＣは□×６÷２＝２０で求められます。ＢＣからＦＣを引いたものがＢＦです。

（２）点ＥがＡにある場合の三角形ＡＦＤの面積は２４㎠、点ＥがＢにある場合の三角形ＢＦＤの面積は４㎠。ところで、実際の三角形ＤＥＦの面積は１６㎠ですから、点Ｅの位置はＡＢ間を（２４－１６）：（１６－４）すなわち２：３に分けるポイントだと分かります。
これによってＡＥの長さが分かればＡＥＤの面積は求められます。

５

比の文章題
（１）もともと同じ個数の状態から、Ａが②、Ｂが③になったその差の①はＡがＢとＣにあげた❷とＢがＡからもらった❶によってできていますから、①＝❸という関係が分かります。
したがって、Ａに入っているボールの個数を❻、ＡからＢに移したボールの個数を❶と表現できますから、６倍だと分かります。

（２）後述の合否を分けた１題　参照

６

図形と調べ上げ

７

数の性質
（１）１２の約数の個数と、それを小さい順に並べたときの奇数番目の数すなわち、1・３・６をかけ合わせた１８が分子、偶数番目の数である２・４・１２の積９６を分母とした分数を約分しきった１６分の３を答えます。
（２）８１の場合、分子に１・９・８１、分母に３・２７ですから分数は９となります。
（３）約数が７個ということは、素因数分解するとa×a×a×a×a×a（aは素数）と表される数になります。この約数は順に、1、a、aの２乗、aの３乗・・・、aの６乗となりますから
ｂの値は、aの３乗に当たります。これが８ですから、a＝２、もとの整数は2の６乗だと分かります。
（４）約数の個数が４個ということから、素因数分解した形がa×a×a（aは素数）または、
a×c（a・cは素数）ということが分かります。
前者の場合、bの値はaの２乗分の１となるので、a＝５だと分かります。
後者の場合は、約数が1、a、c、a×cの４つで、a < cとすると、ｂの値はやはりaの２乗分の１となり、a=５となります。ここで、cはaより大きな任意の素数に設定できますので、
a(５)×cが３けたになるもののうち、小さい方から順に考えると、c=23、c＝29が該当します。

合否を分けた一題

５

比の文章題
（２）やりとりが続くとき、どこに手がかりがあるのかを探るために情報をできるだけシンプルに整理しておきましょう。スタートの段階でＡ：Ｂ：Ｃは２：３：３になっています。
それが、最終的に４：５：４になったのですが、ＡＢＣの中でのやりとりなので、合計個数は変化していないはずです。したがって、合計を表す比をそろえてみましょう。
２＋３＋３＝８
４＋５＋４＝１３
最小公倍数の１０４にそろえると
初めの個数の比は
２６：３９：３９
ここからやり取りを経て
３２：４０：３２になったということです。
ここで、ＡとＣの差が１３から８へ縮まったのは
Ｂが１０個減り、Ａが５個増えたことが原因です。
したがって、比の５が１５個に当たるとわかりますので、ボールの合計個数は
１０４×３＝３１２個だと求められます。

著者：受験Dr. (受験ドクター)

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