算数の合否を分けた一題（2017年度）

難易度分類

Ａ：芝中合格を目指すなら必ず得点したい問題
Ｂ：着眼点や解法により正答率・かかる時間に差がつく問題
Ｃ：難易度や処理量から判断して、とばすべき問題

問題別寸評

（１）、（２）

小数と分数の四則混合計算、逆算
煩雑ではありますが、普通の計算問題です。確実に正解したいところです。

平均に関する問題
全体の平均点と、２グループの平均点の「差」
そして人数の「比」が分かっている状況ですから確実に解きこなしましょう。

速さと比
ＢからＣまでの距離が、ＡからＢまでの距離より５ｋｍ長い、という距離の差の情報が決め手です。
距離が「同じ」部分では行きと帰りで差がつきません。
差は、５ｋｍを「上るのか・下るのか」という違いでついたことが分かりますから
行きにかかった時間が、帰りにこの５ｋｍを上るのにかかった時間
＝５ｋｍ÷１０ｋｍ／ｈ＝０．５時間（30分）よりも、10分短かったことが分かります。
したがって、５ｋｍを30－10＝20分で下っているので、時速15ｋｍです。
残りの部分の「同じ距離」の往復に30分かかっていますから、
これを、かかる時間の比（２：３）に分けると、上りに18分、下りに12分かけたと分かります。
ＡＢは、行きの上りの区間なので、18ｋｍ／ｈで18分、すなわち18×18÷60＝5.4ｋｍです。

規則性
点の個数、使われている正方形の枚数、周りの長さを構成している辺の本数の順に
変化の様子を調べてみると
番：１→２→３　・・・□
個：４→８→12 ・・・４×□
枚：１→３→５　・・・１＋２×（□－１）
本：４→８→12　・・・４×□
周りの長さは、周囲の辺の本数×2㎝
面積は使われている正方形の枚数×４㎠でそれぞれ求められます。

平面図形と比

（１）

ＡＤＨの面積からＡＤＧの面積を求めます。
三角形ＡＥＨと三角形ＧＤＨの相似を利用すれば、ＡＨ：ＨＧ＝２：１が分かりますから
三角形ＡＤＧ＝８÷２×３
ＤＧを高さとして底辺を逆算すれば、ＡＤ＝８ｃｍと分かります。

（２）

四角形ＤＧＢＥが平行四辺形ではないことに注意しましょう。
あとは台形ＤＧＢＥから、三角形ＤＨＧと三角形ＢＥＦを取り除けばもとめる四角形の面積が得られます。

影に関する問題

（１）

棒の高さ：影の長さ＝80ｃｍ：１ｍ＝４：５を利用します。

（２）

３ｍの影の長さに相当する棒の高さは2.4ｍですから、壁に写った２ｍよりもさらに2.4ｍ高いのが棒の高さです。

（３）

3.5ｍの影の長さに相当する棒の高さは2.8ｍですから、棒の高さよりも2.8ｍ下がった1.6ｍが、段差の先にある壁に写った影の、「地面からの」高さになります。
したがって影の長さの合計は３ｍ＋0.5ｍ＋1.6ｍ＝5.1ｍです。

場合の数
「芝アイス」が登場しました。
後述、合否を分けた一題をご参照下さい。

水量とグラフ

（１）

まずはグラフの「折れ曲がり」部分で起こっているイベントを確認しましょう。
始めは給水管Ａだけで、2分で30Ｌの水を入れました。

また、グラフの18分から20分までの2分間が、水があふれている部分ですから
ＡとＢ合わせると2分で40Ｌの水が入ることが分かります。

ここから、Ｂは1分で5Ｌ、ＡＢは合わせて1分で20Ｌの水が入ると分かりました。
この順に給水すると2分から18分までの16分で、270－30＝240Ｌの水がたまったのですから、
つるかめ算で、それぞれの給水管を使用していた時間が分かります。

（２）

２７０Ｌたまった状態から、給水管Ｂはさらに6分間給水→３０Ｌが追加
これらの水が、32－20＝12分で空になったので、排水管Ｃは300÷12＝25Ｌ／分となります。

切って開いた形
切り方だけでなく、折りたたんだ最終形に至るまでの「折り方」によって開いたときの形が変わることに注意が必要です。
開いた形から出発して、折りたたむひとステップごとに、重なった図形がどこに集約されたかを丁寧に追いましょう。
初めのひと折りで左半分に、次のひと折りで、その下半分に、次のひと折りで、さらにその左半分に、最後のひと折りで、その下半分に集められましたから、開いた形の左下１６分の１の正方形に描かれる模様が図２のようになります。
あとは、折りたたんだ反対の順序で、上下に対称、左右に対称、また上下に対称、最後に左右に対称形を描き入れていくと、切って開いた形が⑥番だと分かります。
（２）も同様に、（１）で見極めた左下の１６分の１の正方形に追加の切れ目を入れ、全体に展開していきます。
すると、正方形から小さな正方形をくりぬいた、面積６㎠の図形が５個できます。
また、面積が２分の３㎠の図形は、四隅に４個できることがわかります。

合否を分けた一題

芝中学は思考力を問う問題を好んで出題してきます。単純に、この問題はこう処理する、と決まったパターンに当てはめて解ける問題ではない場合、どうアプローチするか。この「思考力」への対策が合否を分けるといえるでしょう。ここでは、思考力を鍛えるための３つの観点に注目してみましょう。①情報を整理する力、②細かい要素に分解する力、③基本形を発見する力、の３つです。

［７］は場合の数の問題でした。
味が３種類、重ね方は「最大」４つというのがポイントで、１つや２つという可能性もある、という場面です。
思考をシンプルにするためにうまく「場合分け」ができるかどうかが鍵を握ります。
（１）では全部で何通りのアイスができるかを問うています。
同じ味が複数あっても良いということですから、「何段重ねにするか」に着目して場合分けをしていきましょう。
１段のとき・・・３種類
２段のとき・・・１段目３通り×２段目３通りの９種類
３段のとき・・・３×３×３＝２７種類
４段のとき・・・３×３×３×３＝８１種類
これらをすべて足し合わせます。４段のとき「だけ」で考えてしまわないように注意が必要です。

（２）味が３種類のアイスは（１）の３段のときと４段のときに登場します。
その中で、３段の場合は重複が一切なければよいのですから、
１段目３通り×２段目２通り×３段目１通りの６種類

４段の場合、１段目、２段目までは何味でも大丈夫です。
残りの２段ですが、１・２段目が異なる味のときは３通り、１・２段目が同じ味のときは、まだ使っていない２通りだけが選べます。ここは樹形図を書いて考えるのが安全です。
書き出してみると３６通り存在することが分かります。

（３）味が２種類の芝アイスは２段、３段、４段で登場します。
２段のときは
１段目３通り、２段目２通りの６種類
３段のときは
１段目３通り、２段目３通り、３段目２通り（１段目・２段目のどちらかの味または１・２段目が同じ味のときはそこで使っていない味）の１８種類
４段のときは
１段目３通り、２段目３通り、とここまでは同じですが、３段目は１段・２段が同じ味のときは３通り、１・２段目が異なる味のときは２通りと変化します。そして４段目は先ほどと同様に、それまでに使った２通りのどちらかの味、または１・２・３段目がすべて同じ味のときはそこで使っていない味のやはり２通りがあります。
したがって、３×３×２×２　に３段まで同じ味の場合の３×２通りを加えた４２種類ができます。

単純に計算で攻めるのか、場合分けをするのか、試験場でも悩むことはあるでしょう。
けれど、悩むなら、まずは樹形図を書いてみる、という基本に立ち返る姿勢も重要です。

樹形図の発想には調べ上げの工夫が詰まっているのですから。

書き始めて、途中で法則に気付いたなら、そこから計算に切り替えることもできます。
そのような注意深さをもって問題に当たれていたかどうかで成否が決まる、合否を分けた一題といえるでしょう。

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