算数の合否を分けた一題（2017年度）

算数の合否を分けた一題

慶應普通部入試対策・算数の合否を分けた一題（2017年度）

難易度分類

１	①Ａ　　②Ａ
２	Ｂ
３	Ｂ
４	Ｃ
５	①Ａ　　②Ａ
６	Ａ
７	Ｂ
８	Ａ
９	①Ａ　　②Ｂ
１０	Ａ

Ａ：慶應普通部合格を目指すなら必ず得点したい問題
Ｂ：着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
Ｃ：難易度や処理量から判断して、部分点狙いで答案を作成すべき、もしくはとばすべき問題

出題総評

今年も、例年通り大問10題構成となり、40分という短い時間の中で、どの問題を取捨選択するか？という判断力が問われる試験となりました。
大問１は計算２問、大問２は数を数珠つなぎにした和差の問題、大問３は数の操作の問題、大問４はお金のやり取りをテーマにした割合の文章題、大問５はダイヤグラムをテーマにした流水算の問題、大問６は立体の展開図を作図する問題、大問７はカードの数をテーマにした場合の数の問題、大問８は相似が絡む平面図形の問題、大問９はものさしの目盛りをテーマにした数の性質と割合の融合問題、大問１０は扇形と三角形の求積問題でした。

問題別寸評

[１]

①　答　３００

工夫が一見ありそうな計算問題。ところどころで工夫は出来ますが、何も考えずに一つ一つ確実に計算をして答えを求めてしまう方が時間の浪費を防げます。

②　答　

分数と小数の入り混じった逆算。０．６２５、０．８７５はパッと分数に変換できるようにしておきましょう。①も含めたこの大問１では時間をかけることは許されません（２～３分程度が望ましい）。

［２］　答　１５４４

あまり見慣れない形式の問題で、どこから手をつけたら良いか戸惑った受験生もいたと思われます。
例えば、Ｋ＋Ｌ＋Ａが２０１７ということは、そのすぐ右に並んだＬ＋Ａ＋Ｂも２０１７ですので、ＫとＢは同じ数であることが分かります（３つ離れた数が同じということです）。よって、ＦとＫの数が与えられているので、ＢとＣも分かり、Ａ（Ｄも同じ数）が求まります。

［３］　答　最大…９７　最小…４９

２桁の数において、１０の位の数と１の位の数を掛け合わせて次の数を作るという、数の操作をテーマにした問題。最後から巻き戻して考えます。かけて８になる組み合わせ（ただし１桁の数同士）は、１×８・２×４・４×２・８×１なので、元の数は１８・２４・４２・８１のどれかということになります。その操作を繰り返し、樹形図のように丁寧な調べ上げをしていくことで答えが求まります（中には一部、７６のような数が出てきます。一桁の数を掛け合わせて７６になることはないので、こういった数は省いて考えるように）。

［４］　答　Ａ…４５個　Ｂ…３０個　Ｃ…２８個

時間が限られた本校の入試問題の中で、まず出題される複数人同士の物のやり取りをテーマにした、割合の文章題。今年も出題されました。情況の整理や式の処理の面倒さを考えると、４０分の中では後回しにすべき問題だと言えます。
まず、Ａ君を⑧＋５個、Ｂ君を⑦－５個、Ｃ君を□個、と置いたうえで問題文に沿って個数の整理をしていくように。最終的にＣがＡより８個少なくなったので、⑧－１２＝□となります。さらに厄介なのが、ＢとＣの差が１個と言及されているが、どちらの個数の方が多いのかが分からない点。両方の場合で計算を進めることになりますが、ＢがＣより多いと仮定して計算をしていくと最終的にＡが２９個、Ｂが１６個、Ｃが１２個となり、これはおはじきの合計の個数が１００個という条件に反します。かなりの処理力が要求されるので、ここで時間を浪費するわけにはいきません。

［５］

①　答　時速２㎞

こちらも、本校の入試にはまず出題されるダイヤグラムの問題。グラフから、アの船の下りの速さ、イの船の上りの速さが出せます。両者の静水時の速さも同じことが分かっているので、ここは欠かせない問題です。

②　答　１１時０２分

ウの静水時の速さが与えられており、先ほどの問題で流速も出せたので、難なくダイヤグラムも作図できるでしょう。３回目に出会った時刻については、１０時５０分を起点として、４ｋｍ（ＢＤの距離）離れたアとウの船の出会い算、と捉えれば問題ありません。

［６］

答

正三角形を６面くっつけた立体から、特定の辺を切って出来る展開図を完成させる問題。切られていない辺、つまりつながっている辺から展開図を徐々に完成させていくようにしましょう。頂点記号をふるのも忘れずに。本校の受験生としては、落としてはいけない問題です。

［７］　答　１７通り

場合の数の問題。詳細は、合否を分けた一題として後述します。

［８］　答　３２㎠

線をのばして砂時計型相似を作り、３連比に持ち込んで考える典型的な平面図形の問題。本校に限らず、様々な受験校対策をしている中でこのパターンの問題は何度も目に触れてきたはずです。まずはＥからＦに向かって線を引き、底辺比から三角形ＤＥＦの面積を求めます。さらに、ＢからＣおよびＥからＧに向かって外側に線をのばし、両方の線の交わる点を使って砂時計相似→３連比と考えていくようにしましょう。この問題も確実に得点するようにしてください。

［９］

２種類の物差しがあり、両者の全体の長さや１目盛りあたりの長さを、数の性質や割合に絡めて解いていく問題。まずは、Ａは１００等分、Ｂは９０等分してあるので全体の長さについてＡを１００、Ｂを９０とおき、さらにＢがＡの１．５倍の長さなので、Ａは１００、Ｂは１５０となりますが、先ほどの９０と１５０の最小公倍数でＢを４５０、Ａを３００とおくと分数や小数も出さずにスムーズな計算が行えます。

①　答　２１か所

Ａは１目盛りが３００÷１００＝３、Ｂは１目盛りが４５０÷９０＝５となります。両者の最小公倍数を考えたあとは植木算の観点が絡んでいるので＋１をするのを忘れないように！

②　答　４２

問題文だけでは、イメージがなかなか湧きづらいでしょう。線分図にすることをおすすめします。Ｂから測ったときに、Ｂをまるまる使い（この時点で４５０の長さ）、さらにＡの２０の目盛りまできたということは、３００÷１００×２０＝６０の長さまでなので、ひもの長さは４５０＋６０＝５１０と言えます。そして、Ａから測った図をもう一つ書いたうえで、先ほどと同じようにＢの途中のどこまでひもが来るのかを考えるとよいでしょう。

［１０］　答　３０４．８㎠

最後を飾る問題としては、少し拍子抜けをしてしまうような典型題。大問８と同じく、今までこの形は何度も目にしてきたはずです。中心から各頂点に向かって線を引き、中心角が１５０度の扇形の面積から、３０度の利用で求まる三角形の面積を引いて考えるシンプルな問題です。確実に得点しましょう！

合否を分けた一題

今年の慶應普通部の算数は、例年と同じようにやり取りの割合の文章題・速さのダイヤグラム・立体の展開図といったお馴染みの問題以外に、明らかに簡単な平面図形の問題も目立ちました。より、４０分という短い時間の中で、どの問題に何分の時間を費やすか、という判断が強く問われた試験だと言えます。
今回は、後半の問題群の中で大問７の数が絡んだ場合の数の問題を、合否をわけた一題としてご紹介いたしましょう。

［７］場合の数

小さい順に３枚のカードの数を足していって探し出す力技もありますが、被ってしまう数が大量にあることと、４０分しか時間がない中でそれはタブーです。本問は、探し出しをしているうちにある“規則”に気づけるかどうかを、試験作成者は受験生に試しています。
その“規則”というのは、“３枚の和は特定の数を除いて、１おきになっていること”です。
３枚の和で考えられる最小の数は、３＋３＋５＝１１ですが、実は次の１２は３＋３＋６、１３は５＋５＋３、１４は３＋３＋８…とすべて作れてしまうのです。最大の数は１０＋１０＋８＝２８なので、１１～２８の１８通り、となりますが、これは誤りです！カードの中で、７と９が欠けていることに気づけたが正誤の分かれ目。最大の次の２７は、１０＋１０＋７や１０＋９＋８といった組み合わせになるので作れません。２６は１０＋８＋８で、さらに次の２５は１０＋１０＋５で作れます。したがって、唯一作ることのできない２７をのぞいて、１７通りとなります。

答え：１７通り

著者：受験Dr. (受験ドクター)

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